Bài Tập Giới Hạn Hàm Số Lớp 11 Nâng Cao

Giới hạn hàm số hay thường gọi là giới hạn của hàm số – Là kiến thức đặc biệt của toán 11 nằm trong bậc THPT. Để học tốt phần này chúng ta cần làm rõ lý thuyết, biết cách áp dụng linh hoạt những dạng vào giải bài xích tập.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số lớp 11 nâng cao


1. Kim chỉ nan giới hạn hàm số

1.1 giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): trả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 cùng y = f (x) là 1 trong những hàm số xác định trên một khoảng chừng (a; b), hoàn toàn có thể trừ tại một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L lúc x dần cho x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với đa số dãy số (xn) vào tập hợp (a; b) x0 nhưng mà lim xn = x0 ta đều có lim f (xn) = L lúc ấy ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L$ = L hoặc f (x) → L khi x → x0

Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

$mathop lim limits_x o x_0 c$ = c, với c là hằng số.Nếu hàm số f (x) xác minh tại điểm x0 thì $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): mang sử (a; b) là một trong khoảng đựng điểm x0 cùng y = f (x) là một hàm số xác minh trên một khoảng chừng (a; b), hoàn toàn có thể trừ tại 1 điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là vô cực khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với tất cả dãy số (xn) trong tập hòa hợp (a; b) x0 mà lại lim xn = x0


ta đều sở hữu limf(xn)= ±∞

Khi đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0

1.2 số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3. Mang sử hàm số y = f (x) xác minh trên khoảng tầm (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L khi x dần cho +∞ nếu với đa số dãy số (xn) vào tập phù hợp (a; +∞) nhưng mà lim xn = +∞

ta đều phải có lim f (xn) = L

*


1.3 một số trong những định lý về số lượng giới hạn hữu hạn

Sau đấy là 3 định lý quan trọng về số lượng giới hạn hữu hạn hàm số

*

1.4 số lượng giới hạn một bên

Đề tìm số lượng giới hạn bên đề xuất hay số lượng giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta dựa vào lý thuyết đặc biệt sau

*

1.5 một số quy tắc tìm giới hạn vô cực

Sau đây là 2 Quy tắc đặc trưng đề tìm giới hạn vô cực bạn cần nhớ

*


1.6 các dạng vô định

*

2. Phân dạng số lượng giới hạn hàm số

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số search giới hạn

Sử dụng các định nghĩa 1, tư tưởng 2, định nghĩa 3.

Xem thêm: Hình Ảnh 30 Kiểu Tóc Xoăn Ngắn Cho Người Mặt To Tròn Đẹp Nhất

Bài tập 1. sử dụng định nghĩa số lượng giới hạn hàm số, tìm những giới hạn sau: $mathop lim limits_x o + infty frac2x – 1$

Lời giải

*

Dạng 2. Chứng minh rằng $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ không tồn tại

Ta triển khai theo các bước sau:

*

Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop lim limits_x o + infty left( cos x ight)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Chọn hai hàng số xn cùng yn với:

*

Dạng 3. Những định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tra cứu giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số đề xuất tìm số lượng giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của không ít hàm số cơ mà ta đã biết giới hạn.

Ta có kết quả sau:

*

Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, ví dụ Giả sử nên tính số lượng giới hạn hàm số $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ hoặc $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight)$

ta thực hiện công việc sau:

*

Bài tập 3: Tính những giới hạn hàm số sau: $mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$

Lời giải

$mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị f(x)Với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ gồm f(x0) ≠ 0 cùng g(x0) = 0 thì số lượng giới hạn của nó khi x → x0 có mức giá trị bằng ∞.Trong trường phù hợp với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ tất cả f(x0) = 0 (tức bao gồm dạng $frac00$)Chúng ta đề nghị sử dụng các phép chuyển đổi đại số để khử dạng $frac00$, và thông thường là làm xuất hiện nhân tử thông thường (x − x0)

Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số

Sử dụng những định lí với để ý sau:

x → $x_0^ + $; được gọi là x → x0 với x > x0 ( lúc ấy |x − x0| = x − x0 ).x → $x_0^ – $; được hiểu là x → x0 và x 0 ( lúc ấy |x − x0| = x0 − x)

Bài tập 4: Tìm những giới hạn một bên của những giới hạn sau:

a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracleftx – 2$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracleftx – 2$

Lời giải

a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracleftx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + frac3x – 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + 3 = 3$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracleftx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ – frac – 3x + 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + left( – 3 ight) = – 3$

Nhận xét: Vậy, giả dụ hàm số f(x) không xác minh tại điểm x0 thì giới hạn một mặt của nó không không giống so với số lượng giới hạn tại x0

Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

*

Bài tập 5. đến hàm số

*

Tính $mathop lim limits_x o 0^ – fleft( x ight)$ với $mathop lim limits_x o 0^ + fleft( x ight)$

Lời giải

*

Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac00$

Bản chất của việc khử dạng không xác định $frac00$ là làm lộ diện nhân tử chung để:

Hoặc là khử nhân tử chung để lấy về dạng xác địnhHoặc là chuyển đổi về dạng số lượng giới hạn cơ bản, không còn xa lạ đã biết tác dụng hoặc biết cách giả

*

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

a) Đối cùng với dạng 0.∞ cùng ∞0 ta lựa chọn 1 trong hai bí quyết sau

Cách 1: thực hiện phương pháp chuyển đổi để tận dụng các dạng số lượng giới hạn cơ bản

Cách 2: thực hiện nguyên lí kẹp giữa với những bước

*

b) Đối với dạng 1∞ bắt buộc nhớ các giới hạn cơ bản sau $mathop lim limits_x o 0 left( 1 + x ight)^frac1x = e$, $mathop lim limits_x o infty left( 1 + frac1x ight)^x = e$

Trên phía trên là bài viết chia sẻ biện pháp tìm giới hạn hàm số và những dạng bài tập thường xuyên gặp. Bài bác tới ta đang học về hàm số liên tục, mới các bạn đón xem.

Mọi vướng mắc bạn vui tươi để lại bình luận bên dưới để Toán học giải đáp chi tiết hơn. Chúc bạn làm việc tập hiệu quả